引例
若$3\times 3$矩阵$A$的元素均为0或1，则求出$detA$的最大值
不多说，说就是枚举法
附上丘维声高代的一个解析：
引例的加强版
若$4\times4$矩阵$A$的元素均为0或1，证明：$detA$小于等于3，且这个不等式不能再优化。
这个枚举就有点困难了，若按丘老解析来思考，有6个符号为正的项，想要通过它把最大值压到3，还是不太现实。查阅资料，这是一类已被深入研究的问题。
哈达玛最大行列式问题(Hadamard maximal determinant problem)
即这类问题将$n$推广后的版本。
对一个$n\times n$矩阵$A$而言，若$A$中元素均为$-1$或$1$，研究$detA$的最大值
（我们将这种矩阵称为哈达玛Hadamard矩阵）
停停，明明前两题的题设是元素均为0或1，这跟-1或1有什么联系么？
{0,1}行列式 与{1,-1}行列式 的联系
我们可以先看另一个问题：
证明：对元素为$1$或$-1$的$n$阶行列式，$n>3$，$detA$可被$2^{n-1}$整除
证明
考虑先把A标准化(normalized)，将第一列所有元素变成$1$:
[ A=(-1)^m\begin{bmatrix} 1 & 1 &\dots & 1
\\ 1 &
\\ \dots
\\ 1
\end{bmatrix}
]
将$A$用第一列去减其他列,再按第一行展开,得:
[
A=(-1)^mC
]
其中$C$是一个$n-1$阶行列式，且它的元素属于$\{-2,0,2\}$
在$C$的每一行中提取一个 $2$ ,则:
[
A=(-1)^m 2^{n-1}D
]
显然$D$是一个值为整数的行列式 $\Longrightarrow$ $A$能被$2^{n-1}$整除 ,$\quad \Box$
证明之后……
由上，对于一个$n$阶行列式，我们将其与一个$n-1$阶行列式建立了一个对应关系。
则我们得到了两者之间的联系：
$n$阶{-1,1}行列式的最大值 是$n-1$阶{0,1}阶行列式的$2^{n-1}$倍。
（是不是不太严谨）
再回看我们引例加强版中的问题,就转化成了
求$5$阶Hadamard矩阵所对应的行列式的最大值
如何研究Hadamard矩阵
参考资料
英文维基百科：https://en.wikipedia.org/wiki/Hadamard%27s_maximal_determinant_problem
数学星球PlanetMath:https://planetmath.org/HadamardMatrix
- 高等代数：大学高等代数创新课程 上册，丘维声，2010